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sábado, 16 de julho de 2011

Equação do 2° Grau: Forma Reduzida Fatoração (Trinomio quadrado perfeito)

Conteudo:
EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 2º GRAU (conceito e estratégias de resolução)
·
Forma reduzida e coeficientes
É importante que você saiba escrever uma equação de 2º grau na sua forma reduzida e
que saiba, então, reconhecer seus coeficientes “a”, “b” e “c”.
Ex.: A equação 2x(x – 7) = -13 x + 5 não está na forma reduzida, mas pode ser colocada:
2x(x – 7) = -13 x + 5
2x
2x
Coeficientes: a = 2, b = -1 e c = -5
2 – 14 x + 13x – 5 = 02 – x – 5 = 0 forma reduzida
·
Resolucao
Existem diversas estratégias para resolver uma equação polinomial de 2º grau. É
importante saber reconhecer quando uma dessas estratégias é mais vantajosa que outra.
Equações incompletas
o
b=0, ou seja, quando não há termo em x na equação.
Ex.: 4x
4x
x
Isolamento da incognita, por meio das operacoes inversas: usa-se quando2 – 1 = 02 = 12 =
1
4
S = { -1/2 ; 1/2}
x =
1 1
4 2
± = ±
o
há termo independente de x ou de x
Ex.: 3x
x (3x – 7) = 0 (Analisar o produto zero!)
Fatoração (fator comum em evidencia): usa-se quando c=0, isto é, quando não2.2 – 7x =
x = 0
x = 7/3
ou 3x – 7 = 0 S = {0 ; 7/3}
Equações completas
o
vez de desenvolver, fica bem mais fácil analisar os fatores.
Ex.: (x – 11) (2x – 1) = 0
x – 11 = 0 ou 2x – 1= 0
x = 11 x = 1/2
Produto igual a zero: se há uma expressão fatorada resultando em zero, emS = {1/2 ; 11}
Obs1: Essa estratégia serve para resolver muitas equações, mesmo algumas
que não são de 2º grau.
Obs2: Se o produto não for igual a zero, mas a outro valor, não se pode
proceder dessa maneira.
o
precisamos desenvolver, mas analisar a expressão para que dê zero.
Ex.: (2x – 8)
2x – 8 =
Quadrado zero: se o quadrado de uma adição ou subtração é igual a zero, não2 = 0± 0
2x – 8 = 0
x = 8/4
S = {2}
x = 2
o
desenvolver a expressão, mas analisá-la.
Ex.1 : (2x – 8)
2x – 8 =
Quadrado resultando em outro numero: Também não precisamos2 = 9± 9
2x – 8 = ± 3
2x – 8 = 3 ou 2x – 8 = -3
S = {5/2 ; 11/2}
2x = 11 2x = 5
x = 11/2 x = 5/2
Ex. 2: (x + 1)
x + 1 =
2 = ± 5 S = { - 5 - 1; 5 - 1 }
x =
5 - 1 ou x = - 5 - 1
o
um trinômio quadrado perfeito (TQP), podemos fatorá-lo e proceder como nos
casos anteriores.
Ex.: x
(x + 1)
x + 1 =
Fatoracao (trinomio quadrado perfeito): se um dos membros da equação é2 + 2x + 1 = 362 = 36± 36
x + 1 = ± 6
x + 1 = 6 ou x + 1 = - 6
S = { -7 ; 5 }
x = 5 x = - 7
o
trinômio quadrado perfeito, para poder resolver como na estratégia anterior.
Ex.: x
x
x
Completamento de quadrado: podemos transformar uma expressão num2 + 14x + 24 = 02 + 14x = -242 + 14x + 49 = - 24 + 49 (O 49, nesse caso, completa o quadrado!)
x
(x + 7)
x + 7 =
2 + 14 x + 49 = 252 = 25± 25
x + 7 = ± 5
x = 5 – 7 ou x = - 5 – 7 S = {-12; 2}
x = 2 x = - 12
o
Formula resolutiva ou formula de Bhaskara: pode ser usada em qualquer
equação do 2º grau, bastando identificar com precisão quais são seus
coeficientes “a”, “b” e “c”. Por isso, antes de resolver uma equação por
Bhaskara, deve-se escrevê-la na forma reduzida.
Discriminante: Δ =
b2 – 4ac
Formula:
2
b
x
a
=
- ± D
Ex. 1: x
a = 1, b = - 6 e c = 5
2 - 6x + 5 = 0
Δ =
b2 – 4ac = (-6)2 – 4∙ 1∙ 5 = 36 – 20 = 16
( 6) 16 6 4
2 2 1 2
b
x
a
= - ± D = - - ± =
± ×
x = 10/2= 5 ou x = 2/2= 1
S = {1; 5}
Ex. 2: 3x
a = 3, b = -7 e c = 0
2 – 7x = 0 (Repare que essa é uma equação incompleta!)
Δ =
b2 – 4ac = (-7)2 – 4∙ 3∙ 0 = 49 – 0 = 49
( 7) 49 7 7
2 2 3 6
b
x
a
= - ± D = - - ± =
± ×
x = 14/6 = 7/3 ou x = 0/2 = 0
Exercicios
S = {0; 7/3}
Resolva as equações, nos reais, usando a estratégia que julgar mais adequada.
a)
x2 – 81 = 0 S = {-9; 9}
b)
3y2 – 75 = 0 S = {-5; 5}
c)
– x2 + 4 = 0 S = {-2; 2}
d)
x2 – 5 = 0 S={- 5 ; 5 }
e)
x2 + 4 = 0 S = { }
f)
3x2 + 5x = 0 S= {-5/3 ; 0}
g)
x2 – x = S = {0; 1}
h)
– 4x2 – 12x = 0 S = {-3; 0}
i)
S= {-
(3y – 4) (3y + 1) = 14 – 9y2 ; 2 }
j)
(2x +3) (- x + 5) = 0 S= {-5; -3/2}
k)
(x – 1) (2x – 8) = 0 S = {1; 4}
l)
(x – 3) (x – 7) = 21 S = {0; 10}
m)
(x + 10)2 = 0 S = {-10}
n)
(3x – 27)2 = 0 S = {9}
o)
(x 2) 4 2 - = S = {0;4}
p)
(7 – x)2 = 9 S = {4; 10}
q)
x2 – 6x + 9 = 0 S = {3}
r)
4x2 + 4x + 1 = 0 S = {-1/2}
s)
x2 + 12x + 36 = 81 S = {-9;-3}
t)
9x2 + 12x + 4 = 9 S={-5/3; 1/3}
u)
x2 + 6x = 16 S = {-8; 2}
v)
x2 – 4x – 5 = 0 S = {-1; 5}
w)
x2 + x + 20 = 0 S = { }
x)
x2 + 9x + 14 = 0 S = {–7, –2}
y)
y2 – 3y – 10 = 0 S = {–2, 5}
z)
(x + 4)2 = 9x + 22 S = {–2, 3}BOM ESTUDO!

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