sexta-feira, 22 de julho de 2011

Função

Função quadrática

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
f(x) = x^2 - x - 2\,\!
Em matemática, uma função quadrática é uma função polinomial da forma:
f(x)=ax^2+bx+c \,\!
se, e somente se a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola cujo maior eixo é paralelo ao eixo y, se tal função for contínua. A expressão:
ax^2+bx+c \,\!
na definição de uma função quadrática é um polinômio de segundo grau ou um polinômio de grau 2, porque o maior expoente de x é 2.
Se a função quadrática é igualada a zero, o resultado é uma equação quadrática. As soluções para a equação são chamadas raízes da equação ou os zeros da função, e são os interceptos do gráfico da função com o eixo x.

Índice

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[editar] Origem da palavra

O adjetivo quadrática vem da palavra latina quadratum, que significa quadrado. Um termo como x2 é chamado de quadrado em álgebra, porque representa a área de um quadrado de lado x.
Em geral, um prefixo quadr(i)- indica o número 4. Como em quadrilátero e quadrante. Quadratum é a palavra latina para quadrado por que um quadrado tem quatro lados.

[editar] Raízes

Ver artigo principal: Equação quadrática
As raízes da função quadrática são os valores de x, para a imagem ser 0, ou seja onde o gráfico corta o "eixo x". O número de raízes depende do valor do discriminante, ou delta, definido por:
\Delta = b^2 - 4 a c\,
Para:
  • \Delta > 0\, \!, a função terá duas raízes.
  • \Delta = 0\, \!, a equação terá uma raiz apenas (com maior precisão, diz-se que a equação tem duas raízes iguais)
  • \Delta < 0\, \!, não terá raíz (com maior precisão, diz-se que a equação não tem raíz reais, tendo duas raízes complexos conjugados).

As duas raízes da equação quadrática 0=ax^2+bx+c\,\!, onde a \ne 0 \,\! são
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a}.
Essa fórmula é chamada de Fórmula de Bhaskara.
Efetuando r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} e r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4 a c}}{2 a} ou vice versa, é possível fatorar a x^2 + b x + c \,\! como a(x - r_1)(x - r_2)\,\!.

[editar] Concavidade do gráfico da função quadrática

A concavidade é a abertura da parábola, que ora está voltada para cima e ora está voltada para baixo. O sentido da concavidade depende do coeficiente a, se este for superior a 0, ou seja, positivo, ela é voltada para cima, caso seja negativo ela é voltada para baixo.

[editar] Vértice da parábola

O vértice da parábola corresponde ao ponto mais extremo dela. É definido pelas seguintes coordenadas:
(X vertice= -\frac{b}{2a}, Y vertice= -\frac {\Delta}{4a})

[editar] Crescimento e decrescimento de uma função quadrática

Em uma parábola, metade é crescente e a outra metade é decrescente.
  • Concavidade voltada para cima:
    • Decrescente do -infinito ao vértice
    • Crescente do vértice ao infinito
  • Concavidade voltada para baixo:
    • Crescente do -infinito ao vértice
    • Decrescente do vértice ao infinito

[editar] Formas da função quadrática

Uma função quadrática pode ser expressa em três formatos:
  • f(x) = a x^2 + b x + c \,\! é chamada a forma geral ou forma polinomial (também chamada de forma desenvolvida),
  • f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)\,\! é chamada a forma fatorada, onde r1 e r2 são as raízes da equação quadrática, e
  • f(x) = a(x - h)^2 + k \,\! é chamada a forma padrão ou forma vértice (também chamada de forma canônica).
Para converter a forma geral para a forma fatorada, é necessário usar a fórmula quadrática e encontrar as raízes r1 e r2. Para converter a forma geral para a forma padrão é necessário usar o processo de completar o quadrado. Para converter a forma fatorada (ou padrão) para a forma geral, é necessário multiplicar, expandir e/ou distribuir os fatores.

[editar] Gráfico

f(x) = ax^2 + x ,\!a=\{0.1,0.3,1,3\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{1,2,3,4\}\!
f(x) = x^2 + bx,\! b=\{-1,-2,-3,-4\}\!
Independentemente do formato, o gráfico de uma função quadrática é uma parábola (como mostrado abaixo).
  • Se a > 0 \,\!, a parábola abre para cima.
  • Se a < 0 \,\!, a parábola abre para baixo.
O coeficiente a controla a velocidade de aumento (ou decréscimo) da função quadrática a partir do vértice. Números positivos grandes para a fazem a imagem de x aumentar mais rápido, fazendo com que a parábola fique mais fechada, mais "magra".
O coeficiente b e a, juntos, controlam o eixo de simetria da parábola (e também a coordenada do x do vértice).
O coeficiente b sozinho é a declividade da parábola ao cortar o eixo y.
O coeficiente c controla a altura da parábola, mais especificamente, é o ponto onde a parábola corta o eixo y.

[editar] Vértice

O vértice de uma parábola é o número crítico da função quadrática - o ponto onde ela vira, também chamado de turning point. Se a função estiver na forma padrão, o vértice é dado por (h, k)\,\!. Pelo método de completar o quadrado transforma-se a forma geral:
f(x) = a x^2 + b x + c \,\!
em
f(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2-4ac}{4 a} ,
de forma que o vértice da parábola na forma geral seja:
\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4 a}\right).
Se a função quadrática estiver na forma fatorada:
f(x) = a(x - r_1)(x - r_2) \,\!
a média aritmética da duas raízes, isto é:
\frac{r_1 + r_2}{2} \,\!
fornece a coordenada x do vértice, e assim o vértice é dado por:
\left(\frac{r_1 + r_2}{2}, f(\frac{r_1 + r_2}{2})\right).\!
O vértice é também o ponto máximo se a < 0 \,\! ou o ponto mínimo se:
a > 0 \,\!.
A linha vertical:
x=h=-\frac{b}{2a}
que passa pelo vértice é chamada de eixo de simetria da parábola.
  • Pontos de máximo/mínimo
O máximo ou mínimo de uma função é sempre obtido no vértice. O seguinte método se baseia na mesma idéia fazendo uso do cálculo. A vantagem desse método é que ele funciona para funções mais gerais.
Tomando f(x) = ax^2 + bx + c \,\! como um exemplo de equação quadrática para achar seus pontos extremos (que dependem de a \,\!, se a > 0 \,\!, tem um ponto mínimo, se a < 0\,\!, tem um ponto máximo) é necessário antes encontrar sua derivada:
f(x)=ax^2+bx+c \Leftrightarrow \,\!f'(x)=2ax+b \,\!
Depois, encontramos as raízes de f'(x)\,\!:
2ax+b=0 \Rightarrow \,\! 2ax=-b \Rightarrow\,\! x=-\frac{b}{2a}
Então, -\frac{b} {2a} é o x\,\! valor de f(x)\,\!. Agora, para encontrar o valor de y\,\!, substituimos x = -\frac{b} {2a} em f(x)\,\!:
y=a \left (-\frac{b}{2a} \right)^2+b \left (-\frac{b}{2a} \right)+c\Rightarrow y= \frac{ab^2}{4a^2} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow y= \frac{b^2}{4a} - \frac{b^2}{2a} + c \Rightarrow
y= \frac{b^2 - 2b^2 + 4ac}{4a} \Rightarrow y= \frac{-b^2+4ac}{4a} \Rightarrow y= -\frac{(b^2-4ac)}{4a} \Rightarrow y= -\frac{\Delta}{4a}
Assim, as coordenadas do ponto mínimo/máximo são:
\left (-\frac {b}{2a}, -\frac {\Delta}{4a} \right).

[editar] Estudo dos Sinais

Exemplo de uma função positiva para qualquer valor de x
O estudo dos sinais da função quadrática define os sinais da função para qualquer valor de x. O estudo depende do sinal do coeficiente a e do Δ. Ele é obtido analisando o esboço do gráfico da concavidade da função.

[editar] - 1º Caso: Δ < 0

Neste caso, a parábola da função não corta o eixo das absissas. Portanto:
a > 0 \rightarrow f(x) > 0, \forall x \in R
a < 0 \rightarrow f(x) < 0, \forall x \in R

[editar] - 2º Caso: Δ = 0

Exemplo de uma função negativa para x \ne r_1 = r_2 e nula para x = r1 = r2
Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em apenas um ponto. Tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente a e das raízes r1 e r2 (note que r1 < r2):
  • a > 0
f(x) > 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2
f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2
  • a < 0
f(x) < 0 \rightarrow x \ne r_1 = r_2
f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 = r_2

[editar] - 3º Caso: Δ > 0

Exemplo de uma função positiva para x < r1 ou x > r2; nula para x = r1 = r2 e negativa para r1 < x < r2.
Neste caso, a parábola da função corta o eixo das absissas em dois pontos. Novamente, tem-se duas situações, dependendo o valor do coeficiente a (note novamente que r1 < r2):
  • a > 0
f(x) > 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2
f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2
f(x) < 0 \rightarrow r_1 < x < r_2
  • a < 0
f(x) > 0 \rightarrow r_1 < x < r_2
f(x) = 0 \rightarrow x = r_1 \lor x = r_2
f(x) < 0 \rightarrow x < r_1 \lor x > r_2

[editar] Raiz quadrada de uma função quadrática

A raiz quadrada de uma função quadrática faz surgir ou uma elipse ou uma hipérbole. Se a>0\,\! então a equação y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} descreve uma hipérbole. O eixo da hipérbole é determinado pela ordenada do ponto mínimo da parábola correspondente y_p = a x^2 + b x + c \,\!
Se a ordenada for negativa, então o eixo da hipérbole é horizontal. Se ordenada for positiva, então o eixo da hipérbole é vertical.
Se a<0\,\! então a equação y = \pm \sqrt{a x^2 + b x + c} descreve ou uma elipse ou absolutamente nada. Se a ordenada do ponto máximo da parábola correspondente y_p = a x^2 + b x + c \,\! for positiva, então sua raiz quadrada descreve uma elipse, mas a ordenada for negativa ela descreve um conjunto vazio de pontos.

[editar] Função quadrática bivariada

Uma função quadrática bivariada é um polinômio de segundo grau da forma
f(x,y) = A x^2 + B y^2 + C x + D y + E x y + F \,\!
Tal função descreve uma superfície quadrática. Fazendo f(x,y)\,\! igual a zero, é descrita a intersecção da superfície com o plano z=0\,\!, que é um locus de pontos equivalente a uma secção cônica.

[editar] Mínimo/máximo

Se 4AB-E^2 <0 \, a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um parabolóide hiperbólico.
Se 4AB-E^2 >0 \, a função possui um mínimo se A>0, e um máximo se A<0 e seu gráfico forma um parabolóide elíptico.
O mínimo ou máximo de uma função quadrática bivariada é obtido através de (x_m, y_m) \, onde:
x_m = -\frac{2BC-DE}{4AB-E^2}
y_m = -\frac{2AD-CE}{4AB-E^2}
Se 4AB- E^2 =0 \, e DE-2CB=2AD-CE \ne 0 \, a função não possui máximo ou mínimo e seu gráfico forma um cilindro parabólico.
Se 4AB- E^2 =0 \, e DE-2CB=2AD-CE =0 \, a função alcança o mínimo/máximo em uma linha. Similarmente, um mínimo se A>0 e um máximo se A<0, e seu gráfico forma um cilindro parabólico.

[editar] Ver também

[editar] Ligações externas

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