Números e Grandezas Proporcionais
* Grandeza
È todo valor que, ao ser relacionado a um outro de tal forma, quando há a variação de um, como conseqüência o outro varia também.
Em nosso dia-a-dia quase tudo se associa a duas ou mais grandezas. Por exemplo: quando falamos em: velocidade, tempo, peso, espaço, etc., estamos lidando diretamente com grandezas que estão relacionadas entre si.
Exemplo: Uma moto percorre um determinado espaço físico em um tempo maior ou menor dependendo da velocidade que ela poder chegar ou imprimir em seu percurso realizado.
Assim também a quantidade de trabalho a ser realizado em um determinado tempo depende do número de operários empregados e trabalhando diretamente na obra a ser concluída o que se deseja concluir.
A relação de dependência entre duas grandezas, dependendo da condição apresentada, pode ser classificada como Diretamente proporcional ou Inversamente proporcional.
Grandeza Diretamente Proporcional
È definido como Grandeza Diretamente Proporcional as grandezas que são diretamente proporcionais quando a variação de uma implica na variação ou mudança da outra, na mesma proporção, mesma direção e sentido.
Exemplo: 01 Kg de carne custa “Y”, se a pessoa comprar 02 Kgs de carne então ela pagará “02 y”.
Exemplo: Se uma pessoa compra 10 borrachas ao custo de R$ 1,00, então se ela comprar 20 borrachas o custo total será de R$ 2,00, calculando o preço unitário de R$ 0,10.
Grandeza Inversamente Proporcional
Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a variação de uma implica necessariamente na variação da outra, na mesma proporção, porém, em sentido e direção contrários.
Exemplo: Velocidade e tempo.
Um carro percorre a uma velocidade de 100 Km/h, o total de 10 metros em 10 segundos. Se este mesmo carro aumentar para 200 km/h gastará apenas 05 segundos para percorrer os mesmos 10 metros.
* RAZÃO E PROPORÇÃO
RAZÃO - A razão entre dois números, dados uma certa ordem, sendo o segundo número sempre diferente de zero, é o quociente indicado do primeiro pelo segundo.
Exemplo: a razão de 09 para 12 = 09/12 ou 09: 12
a razão de 05 para 10 = 05/10 ou 05:10
a razão de 06 para 18 = 06/18 ou 06:18
Obs. Importante.: 1) Lê-se: nove está para doze sendo que o 1 º número é antecedente e 2º número é conseqüente.
Então: cinco está para dez, sendo 05 o antecedente e 10 o conseqüente.
seis está para dezoito, sendo 06 o antecedente e 18 o conseqüente.
Obs. Importante.: 2) Quando o antecedente de uma razão for igual ao conseqüente de outra, ou vice-versa, dizemos que formam duas razões inversas. Ex: c/d e d/c
PROPORÇÃO – É a sentença matemática que exprime igualdade entre duas razões.
Obs.:
Cada elemento de uma proporção é denominado termo da proporção sendo que os 1º e 3º termos são chamados de termos antecedentes e os 2º e 4º são chamados termos conseqüentes e que os 1º e 3º termos de uma proporção formam os meios e os 2º e 4º termos, formam os extr emos.
PROPRIEDADES DAS PROPORÇÕES
1 – Propriedade Fundamental
Em toda proporção o produto dos meios é sempre igual ao produto dos extremos.
2/5 = 4/10 » 5 x 4 = 20 | 2 x 10 = 20
Aplicação:
7 / 8 = x / 40 onde 8 x X = produtos dos meios | 7 x 40 = produto dos extremos
Temos então: 8x = 280, logo X = 280/8 = 35.
2 – Composição
Em toda proporção, a soma dos primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a soma dos dois últimos está para o terceiro ou para o quarto termo.
Aplicação:
A soma de dois números é 80 e a razão entre o menor e o maior é 2/3. Achar o valor desses números.
a = menor
b = maior
Conclui-se: se o menor vale a= 32, o maior então será 80 – 32 = 48.
3 – Decomposição
Em qualquer proporção, a diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro ou para o segundo, assim como a diferença entre os dois está para o terceiro ou para o quarto termo.
Aplicação:
Determinar dois números, sabendo-se que a razão entre eles é de 7/3 e que a diferença é 48.
a = maior
b = menor
a – b = 48
Portanto,
Se a – b = 48, então b = 84 – 48 = 36
4 – Em toda proporção a soma dos antecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para seu conseqüente.
Aplicação:
Calcular “a” e “b”, sendo que a+b = 63 e a/3 = b/4
Então a soma de a+b = 63, sendo a = 27 e b=36 = 63.
5 – Em qualquer proporção, a diferença dos antecedentes esta para a diferença dos conseqüentes, assim como qualquer antecedente está para o seu conseqüente.
6 – Em qualquer proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos conseqüentes, assim como o quadrado de um antecedente está para o quadrado de seu conseqüente.
Aplicação:
A área de um retângulo é de 150 m² e a razão da largura para o comprimento é de 2/3. Encontrar essas medidas.
a = largura b = comprimento
a² = 150 x 4 : 6 = 100, a² = 100, a = 10
a = largura = 10m, b= comprimento = 15m
7 – Em qualquer proporção, elevando-se os quatro termos ao quadrado, resulta em uma nova proporção.
Aplicação:
A soma do quadrado de dois números é 468 e a razão do menor para o maior é de 2/3. Determinar esses números.
Logo, a² = 144, a = 12.
Obs. O valor de “b” é calculado seguindo-se o mesmo procedimento para calcular o valor de “a”.
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