Equações Do 1° e 2° grau

EQUAÇÃO DO 1º GRAU

* Definição

É definido como uma equação como toda e qualquer igualdade (=) que somente pode ser satisfeita para alguns valores que estejam agregados em seus domínios.

Exemplos:

3x – 4 = 2 à o número X que é desconhecido recebe o termo de incógnita.

3y + 4 = 7 à o número Y que é desconhecido recebe o termo de incógnita.

Desta forma acima, é impossível afirmar se a igualdade do problema é verdadeira ou falsa, pois os valores das incógnitas são desconhecidos.

É possível verificar que as equações acima se tornam verdadeiras quando:

x = 2, veja:

3x – 4 = 2

3x = 2 + 4 à 3x = 6 à x = 2

y = 1, veja:

3y = 7 – 4 à 3y = 3 à y = 1

Assim os conjuntos são verdadeiros (V) e com soluções (S) = 2 e 1 respectivamente

- Equação do 1º grau

Agora que foi definido o termo equação, pode-se definir o que é equação do primeiro grau, como toda equação que satisfaça a forma:

ax + b = 0

Onde, tem-se:

a e b , são as constantes da equação, com a ≠ 0 (diferente de zero)

Observe:

4x + 10 = 1

a = 4

b = 10 >> constantes (4,10)

3x – 6 = 0

a = 3

b = 6 >> constantes (3,6)

Exemplo de fixação:

x + 2 = 6 »

Assim, o número que substitui o “x” na equação acima, tornando a sentença “verdadeira”, é o número 4, pois, 4 + 2 = 6.

Uma equação do 1º grau pode ser resolvida usando uma propriedade já informada em tutoriais anteriores:

ax + b = 0 » ax = - b

x = -b/a

Obs.: É possível transformar uma equação em outra que seja equivalente à primeira, porém esta segunda na forma mais simples de se efetuar cálculos. É possível somar ou subtrair, multiplicar ou dividir um mesmo número, que seja diferente de zero (≠0), aos membros da equação dada no problema.

Exemplo:

 x – 4 = 0 »  x –4 + 2 = 0 + 2 »  x = 4

2x = 4 »  3.2x = 3.4 »  x = 2

* Resolução de uma equação do 1º grau

Resolver uma equação do primeiro grau significa achar valores que estejam em seus domínios e que satisfaçam à sentença do problema, ou seja, será preciso determinar de forma correta a raiz da equação.

Na forma simples de entender a solução de equação do primeiro grau, basta separar as incógnitas dos números, colocando-os de um lado do sinal de igual (=). Desta forma, os números ficam de um lado da igualdade e do outro lado as constantes.

Para assimilar, veja alguns exemplos de fixação resolvidos:

a) Determine o valor do X:

4x – 12 = 8

4x = 8 + 12

4x = 20

x= 20/4 » x = 5 >> V = {5}

b) Qual o valor da incógnita x:

2 – 3.(2-4x) = 8

2 – 6 + 12x = 8

12x = 8  - 2 + 6

12x = 6 + 6

x = 12/12 » x = 1 >> V = {1}

Mais alguns exemplos de equações de primeiro grau:

x + 5 = 10              5x – 3 = 28            3x + 12 = 4

2x – 4 = 0              10 + 4.(5.4x) = 5 – (x+8)

Observe que, como informado no método de resolução dos problemas que envolvem equações do primeiro grau, sempre  é  colocado de um lado às incógnitas e de outros os números, para que se tenha assim a solução verdadeira da questão.

Por tanto ao resultado da raiz dá-se o nome de conjunto “V” ou conjunto de solução “S”.

Lembre-se: Os valores do conjunto soluções têm que ser satisfeitos pelos valores que estejam agregados na sentença.

* Por que a constante “a” tem que ser diferente de zero (a ≠ 0)

Observe:

a ≠ 0 >> b ≠ 0, temos:

x = -b/a

S = {-b/a}

a ≠ 0 >> b = 0, temos:

x = 0/a

S = {0}

Agora se a constante “a” for igual = 0 (a = 0)

b ≠ 0 >> x = -b/0

V = {0}

Desta forma, é possível notar que quando a constante “a” for igual à zero  ( a = 0), temos a conjunto “V”, chamado de conjunto Verdade, igual a zero V = {0}, não existindo, neste caso, raiz ou solução que satisfaça a equação, e  a equação então é denominada de “impossível” ou “sem solução”.

Ainda, se tratando da forma (a ≠ 0), observe a seguinte suposição de equação:

b = 0 >> 0x = 0 >> V = R

Assim, é possível dizer que a equação é indeterminada, pois qualquer valor para a incógnita x, se torna raiz ou solução da equação ou do problema dado.

* Incógnita com valor negativo

Quando efetuarmos as devidas reduções de termos, pode acontecer que o coeficiente que estiver acompanhando a variável seja um número negativo (-).

Caso isto ocorra, o correto a fazer é multiplicar ambos os membros da equação por (-1), que é um dos princípios da multiplicação, já estudados em tutoriais anteriores.

Veja alguns exemplos:

a) 4x – 2 = 6x + 8

Reduzindo os termos:

4x – 6x = 8 + 2

-2x = 10

Verifique   que o número que acompanha o “x”, ou seja, o coeficiente, tem o valor negativo (-), então multiplica-se os termos da equação por (-1).

Assim, temos aos valores:

-2x = 10 .(-1)

2x = - 10

Verifique então, que após multiplicar os termos por (-1), temos o coeficiente da incógnita “x” na forma positiva, agora sim podendo prosseguir com a operação.

x = -10/2 >> x = -5

Como o valor de x = -5, então V = {-5}

Observação:

O método de resolução de equações do 1º grau, no qual coloca-se os valores de um lado do sinal (=) e as incógnitas do outro é apenas um "macete". Veja o que realmente ocorre:

Observe:

2x + 4 = 8

Adicionamos (-4) a ambos os lados, a fim de deixarmos o valor de 2x "separado".

Veja o que acontece:

2x + 4 - 4 = 8 - 4

2x = 4

x = 2

V={2}

A forma de cálculo acima é a exposição do que ocorre na solução de equações do 1º grau. A "grande dica" de "separar" os números de um lado e as incógnitas de outro pode ser utilizado para agilizar nos cálculos dos problemas e sentenças.

História das equações do 2º grau - Os árabes. A Fórmula resolvente.

  resolução de problemas com equações do segundo grau aparece tanto nos babilónicos, como nos egípcios, como nos gregos. No entanto, um nome ficou eternamente ligado à resolução de equações do segundo grau - Muhammad Ibn Musa Al-Khwarizmi. Matemático que viveu no século IX, a sua importância é impressionante. Tendo trabalhado na biblioteca de Bagdad, denominada de Casa da Ciência ou Casa da Sabedoria, traduziu para o árabe obras matemáticas provenientes, sobretudo, da Grécia e da Índia. Um dos mais importantes, se não o mais, feitos de Al-Khwarizmi, foi a criação de uma obra sobre o sistema numérico hindu, conhecido actualmente por sistema de numeração decimal indo-arábico, obra essa imprescindível para a divulgação e adopção do nosso sistema numérico actual. Por outro lado, o seu nome é, provavelmente, a raiz da palavra logaritmo, algoritmo e algarismo. Também algumas das expressões por si utilizadas derivaram em palavras como álgebra, ou na utilização corrente da letra x para representar a incógnita de uma equação. Mas, esquecendo a enorme quantidade de factos pelos quais devemos estar agradecidos a este personagem histórico, vamo-nos  concentrar, única e exclusivamente, no seu papel na história da resolução de equações do 2º grau.

Nota: o Corão prescreve uma certa lei para as heranças, em que a sua repartição é feita de acordo com o sexo e a idade dos herdeiros. Para tal repartição é necessário saber calcular quantidades e proporções que obrigam à resolução de equações do 2º grau. Este facto terá sido da maior importância como impulsionador de estudo de tais equações.

Relativamente às equações do 2º grau, devemos saber que, até Al-Khwarizmi, a resolução de equações do 2º grau era, quase exclusivamente, geométrica. Este matemático, desenvolveu formas algébricas de procura de soluções de equações, sendo estes procedimentos algébricos articulados com representações geométricas que justificavam raciocínios. O que nos proponho realizar, é compreender e utilizar os procedimentos de Al-Khwarizmi na resolução de equações do segundo grau, para os diferentes tipos destas. Quando referimos diferentes tipos de equação do 2º grau, não estamos a utilizar a tipologia actual. Vamos agora estudar cada tipo  de equação do 2º grau estudada por Al-Khwarizmi e os seus procedimentos. Para o fazer torna-se, no entanto, necessário conhecer três termos inventados e utilizados por Al-Khwarizmi:

    → AL-JABR: como para os árabes não existiam grandezas negativas e, portanto, não existiam números negativos, esta regra fazia-os desaparecer, restaurando-os. Assim, a aplicação deste regra consiste em adicionar a grandeza negativa em causa, mas com valor positivo, de forma a anular a grandeza negativa. Por exemplo, na equação:

,

aplicando a regra, restauramos -3x e -17, obtendo a equação:

.

    → AL-MUQABALA: depois de aplicar a regra de al-jabr, aplica-se al-muqabala. O objectivo desta operação é obter uma equação com um termo de cada tipo. Para tal, confrontamos, contrapomos os dois termos da igualdade e reduzimos os termos semelhantes. Por exemplo, continuando com a equação anterior:

,

e aplicando a regra de al-muqabala, obtemos a equação:

.

    → AL-RADD:  esta é a última regra a ser aplicada. O objectivo desta regra é transformar o coeficiente da incógnita com a mais alta potência em 1. Para tal, dividimos todos os termos da equação pelo coeficiente da mais alta potência. Por exemplo, continuando com a equação anterior:

,

e aplicando a regra de al-radd, obtemos a equação:

.

Vamos agora resolver equações do tipo:

           

Antes de experimentares cada tipo de equação, chamo-te a atenção para dois pormenores: vamos utilizar simbologia actual nestes processos de resolução. No entanto, lembra-te que Al-Khwarizmi não dispunha da simbologia actual. O problema e a sua resolução eram apresentados de forma descritiva. Por outro lado, os parâmetros de cada tipo de equação, nomeadamente, , e , são sempre valores positivos. Por este facto, Al-Khwarizmi não considerava equações do tipo ,  pois tais equações não tinham "lógica", visto que três quantidades juntas não podem ser igual a zero.

© Júlio Battisti, 2001 -