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terça-feira, 5 de julho de 2011

Algebra Valor desconhecido

AÁLGEBRA

w.ceesvo.com.br 3
INTRODUÇÃO: O uso das letras na resolução de problemas inaugurou uma nova era da matemática.
No momento em que usamos letras para representar uma quantidade desconhecida entramos na parte da matemática chamada álgebra.
O uso da letra facilitou a comunicação matemática. Por exemplo, você pode representar: “O quadrado da soma de dois números” por (a+b)² que será entendido em qualquer país. As letras a e b estão representando dois números quaisquer.
Existem expressões na matemática que necessitam de letras para representar uma idéia ou uma situação.
Exemplo: Um litro de gasolina custa R$ 1,70. Como você pode representar o gasto com combustível durante uma viagem?
Você pensou, pensou e não conseguiu responder? Está faltando algum dado no problema? Você não sabe quantos litros de gasolina foram gastos?

você pode escrever 1,70 . Xonde X representa a quantidade de

É verdade, você não pode chegar a um resultado imediato, mas existe uma maneira de escrever essa idéia: usando uma letra qualquer para representar a quantidade de litros de gasolina. Então litros.
Expressões formadas por números e letras são chamadas de expressões algébricas.
Na matemática trabalhamos com números, formas e letras que representam números. São as fórmulas e equações.
Um exemplo do uso de fórmula: para calcular o perímetro P (soma dos quatro lados) de um retângulo em que um lado é o dobro do outro.
Observe o desenho abaixo: Você não sabe a medida de um lado então pode representá-la por uma letra.
X 2 . X
X representa a medida de um lado. P = X + 2X + 2X + X P = 6X
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Nessa expressão X é uma incógnita ou variável e está representando um número desconhecido. VALOR NUMÉRICO DE UMA EXPRESSÃO NUMÉRICA
É o número que se obtém quando você substitui as variáveis (letras) por valores reais (números).

Ex. 1: a + bpara a = 2
5Valor Numérico = 5
Ex. 2:

b = 3 2 + 3 Determine o valor numérico de 2a + 3b – 5 lembrando que 2a é o mesmo que 2 . a pois entre um número e uma letra tem uma multiplicação.

2 . a + 3 . b – 5 paraa = 5
2 x² + 3 ypara x = 5

Ex. 3: Calcule o valor numérico de y= - 4
Copie e resolva em seu caderno: 1) Calcule o Valor Numérico das expressões:

a ) x + 2para x = 3
b ) 5a² - 2b paraa = 3

b = 2
Observe que foram dados valores para as letras ( incógnitas ) , então é só substituir ((tirar) a letra pelo número correspondente.

c ) x + ypara x = -1

w.ceesvo.com.br 5 y = 2

d) 2x − ypara x = 3
e) x + y − zpara x = 8 y = 3 z = 5

O termo algébrico é formado por duas partes: a literal (parte das letras) e o coeficiente numérico (número que está multiplicando a parte literal).
Quando a expressão algébrica é formada por dois ou mais termos é denominada POLINÔMIO. Quando têm um só termo é chamada particularmente de MONÔMIO.
Dessa maneira convenciona-se:
Ex.: 4x é um monômio na variável x e o coeficiente é o 4.
2xy3 é um monômio com variáveis x e y e com coeficiente 2.
X³Y² é um monômio com coeficiente 1 (não é necessário escrever o nº 1 antes das variáveis).
4 x² Coeficiente numérico
Parte literal

4 Xé 4 • X (multiplicação)

NÃO SE ESQUEÇA: Obs. O sinal de multiplicação não é usado entre o número e a letra ou entre duas ou mais letras Ex.: 4ab = 4 . a . b w.ceesvo.com.br 6
Dois ou mais monômios são semelhantes quando as partes literais (as letras) são idênticas (mesmas letras com mesmos expoentes).
Assim 15 x²b³ é semelhante a 6x²b³ pois têm a mesma parte literal (X²b³).
Os monômios 10c²b e –2cb² não são semelhantes pois as partes literais ( c²b e cb²) não são idênticas ( os expoentes das letras são diferentes).
Se em uma expressão algébrica houver dois ou mais termos semelhantes, eles podem ser reduzidos a um só, bastando para isso efetuar a operação indicada nos coeficientes (números), mantendo a parte literal (letras).

1) 5x² + 7x² - x² = 11x²

Exemplos:
Para efetuar a operação com números positivos e negativos é necessário lembrar que: 1) quando os números têm o mesmo sinal, soma e conserva o sinal, 2) quando os números têm sinais diferentes, subtrai (tira) e resulta o sinal do nº maior.

- 4 + 9 = 57 – 10 = - 3

Obs.: quando os monômios não são semelhantes não há redução de termos.
Ex.: 9x – 3y ( não existe redução pois as partes literais não são iguais).
OBSERVE: quando a parte literal (letras) não tem coeficiente escrito vale 1. Ex.: X² é igual a 1X²
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ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MONÔMIOS: só podem ser efetuadas se os monômios são semelhantes. Para determinar o resultado você deve: 1º eliminar os parênteses aplicando a regra de sinais conforme mostra os exemplos abaixo, 2º reduzir (juntar) os termos semelhantes observando os sinais dos coeficientes (números).

1º Ex.: (3X²) + ( -5X²)adição de dois monômios

Sinais diferentes resultam sinal negativo. 3X² - 5X² = -2X² (tem 3 e deve 5 = -2)

2º Ex.: (-8 a²x³) - (- 4a² x³)subtração de monômios
-8 a²x³ + 4 a² x³ = -4a²x³(deve 8 e tem 4 = -4 )

Sinais iguais resultam sinal positivo.
3º Ex.: ( 4ax²) - ( -9ab²) não são semelhantes portanto não pode ser reduzido.Você deve apenas eliminar os parênteses: 4ax² + 9ab²
Copie e resolva em seu caderno:
2) Efetue as operações indicadas e reduza os termos semelhantes:
3) Observe o jardim abaixo. A letra X representa a largura e x + 3 o comprimento. Represente o perímetro do jardim (soma dos quatro lados).
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Um númeroX

Você sabe que para representar um número desconhecido, geralmente utiliza-se uma das letras do alfabeto latino. Assim:
Para representar o seu dobro, multiplica-se o número por 2, Assim:

O dobro de um número2 . X ou 2X

O triplo de um número representa-se por 3. X ou 3X e assim por diante.

um número:
o dobro de um número:
o triplo de número:
o quádruplo de um número:

Agora, em seu caderno, represente usando os símbolos da matemática as expressões escritas em português : Você acertou se tiver escrito assim: X, 2X, 3X e 4X.

o ponto

Lembre-se: representa multiplicação.
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Para representar a metade de um número, escreve-se 2 pois é o número dividido por 2. Quando se referir a “partes”, significa divisão.

A metade de um número:
A terça parte de um número:
A quarta parte de um número
A quinta parte de um número:

Represente simbolicamente, em seu caderno, as seguintes expressões:

23 4 5

Você certamente escreveu desta forma: X , X , X e X
Observe atentamente:
Um número somado com 12 é igual a 20. Passando para a linguagem da matemática a representação desta sentença é:

X+ 12 = 20
um númerosomado com 12 é igual a 20

Como se representa: Um número somado com 7 é igual a 23?
Escreva a resposta em seu caderno. Certamente você escreveu: X + 7 = 23
Copie e resolva em seu caderno:
4) Passe para a linguagem matemática. Utilize uma das letras do alfabeto para representar o número desconhecido e os símbolos adequados: a) Um número somado com 8 é igual a 12. b) Um número adicionado a 8 é igual a 16. c) De um número subtraindo 2 resulta 7. d) A diferença entre um número e 9 é 12. e) O dobro de um número é igual a 24. f) O triplo de um número é igual a 3. g) A quarta parte de um número é 7.
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Confira suas respostas no final deste módulo. Se você acertou todos os exercícios, prossiga os seus estudos. Caso contrário refaça-os, analisando seus erros.
Observe atentamente:
A soma do triplo de um número com 15 é igual a 27. A representação dessa sentença é:

3. X+ 15 = 27
o triplo desomado com 15 é igual a 27

um número

escreveu:2. X – 15 = 8. Diferença é subtração.

Represente: A diferença entre o dobro de um número e 15 é igual a 8. Escreva a resposta no seu caderno. Com certeza você Copie e resolva em seu caderno:
5) Em seu caderno, passe para a linguagem matemática as afirmações a seguir: a) A soma do dobro de um número com 18 é igual a 23. b) A soma do triplo de um número com 28 é igual a 32. c) A diferença entre a terça parte de um número e 8 é 14. d) A diferença entre a quarta parte de um número e 14 é 70.
SUCESSOR ou CONSECUTIVO E ANTECESSOR
O sucessor de 9 é 10, porquê? Porque 9 + 1 = 10
Para achar o sucessor você acrescenta uma unidade ao número.

Lembre-se que sucessor e consecutivo são sinônimos

Para representar o sucessor de um número desconhecido você usa o X portanto X + 1 representa o sucessor ou consecutivo, dessa forma estamos acrescentando uma unidade ao número (X) desconhecido. (significa a mesma coisa).
E o antecessor? O antecessor de um número é aquele que tem uma unidade a menos. Exemplo: o antecessor de 9 é 8, porque 9 – 1 = 8 w.ceesvo.com.br 1
Como se representa simbolicamente o antecessor de um número?
Isso mesmo! Se X é o número então, X – 1 representa o antecessor de um número.
Em seu caderno, represente simbolicamente as expressões, utilizando Y para representar um número desconhecido.

a) O sucessor de um número
b) O antecessor de um número

Com certeza você escreveu: a) Y + 1 b) Y - 1
Veja como é representado na linguagem matemática a sentença:
A soma de um número e seu antecessor é 81. A representação dessa sentença é X + (X – 1) = 81.
Agora é com você:

Se você escreveu X + (X + 1) = 57, acertou!!! OuX + X+1 = 57

Como se representa: a soma de um número com o seu sucessor é 57?
Obs.: Os números X e X + 1 também são chamados números inteiros consecutivos.
Observe atentamente: A soma de dois números inteiros consecutivos é 15.
A representação dessa sentença é: X + (X + 1) = 15. Pois o número desconhecido é o X.
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Copie e resolva em seu caderno:
6) Em seu caderno, passe para a linguagem matemática. Utilize uma letra do alfabeto latino para representar o número desconhecido.
a) A soma de um número inteiros com o seu consecutivo é 29. b) A soma de um número com o antecessor é 61.
c) A soma de um número com seu sucessor é 29.
Equação é uma igualdade ( = ) envolvendo uma ou mais letras que estão representando números.
Obs.: Saiba que pode ser usada qualquer letra como incógnita para representar um número. Esses números são chamados de raiz ou solução da equação.
As equações são classificadas em grau de acordo com o maior expoente da incógnita ( letra ).
EQUAÇÃO GRAU JUSTIFICATIVA 2X - 3 = 0 1º O exp. do X é 1 5X² + 6 = 36 2º O exp. do X é 2

-8a³ + 6a – 7= -9

O maior exp. de a é 3 w.ceesvo.com.br 13
EQUAÇÕES DO 1º GRAU
Para determinar o valor da incógnita (letra) de equações simples você pode usar apenas o raciocínio.
Nas equações mais complexas (difíceis) é necessário usar técnicas de resolução.
Veja o exemplo que o prof. Francisco deu: O prof. Francisco propôs o seguinte desafio para sua aluna

3 230 6
• 6 +2 = 32− 2
05 é o nº pensado

Flávia: “Pensei em um número, multipliquei por seis, somei dois e o resultado deu 32”. Adivinhe que nº é esse. Flávia descobriu o nº fazendo as operações inversas. Veja suas anotações: 3 0
O prof. Francisco resolve esse problema usando uma letra (X) para representar o nº pensado. As operações feitas com ele são indicadas assim:

6 • X+ 2 = 32
nº pensadosomado resulta 32
e multipl. por 6com 2

Na sentença obtida, descobre-se o valor de X desfazendo as operações feitas com ele. Começamos desfazendo a adição. Observe: 6 • X + 2 = 32 6 • X = 32 − 2 6 • X = 30
Agora, desfazemos a multiplicação: X = 30 6 X = 5

Adição ( soma):operação inversa é a subtração (menos).
Multiplicação (vezes)operação inversa é a divisão.

Para desfazer cada operação efetuamos a “conta” inversa.
Isso que você acabou de ler nada mais é do que a resolução de uma equação do 1º Grau.
w.ceesvo.com.br 14 Inverte a operação, troca o sinal.
Técnicas para Resolução das Equações
Resolver uma equação é achar o valor da variável (letra), de modo a tornar a igualdade verdadeira.

1º Ex.:X + 8 = 13

Você pode resolver apenas raciocinando: “ Qual é o nº que somado com 8 resulta 13? Resposta: é o nº 5, portanto X = 5

No 2º exemplo torna-se mais difícil saber o valor de Xna

equação. Você terá que resolver usando as técnicas abaixo explicadas.

2º Ex.: 2 x + 7= 13
1º membro2º membro

- Isolar ou separar , no 1º membro, os termos que possuem “x” e, no 2º membro, os termos que não têm “x”,
- Inverter as operações trocando de sinais os termos que mudam de um membro para outro. Você pode usar o esquema abaixo para representar essa técnica.

LETRALETRA NÚMERO NÚMERO
2x = 6Lembre-se que o 2 está multiplicando a variável X
x = 6portanto passa dividindo.

Inverte o sinal ou a operação Inverte o sinal ou a operação

V =3

Como não podemos fazer “conta” dos termos que tem X com números devemos:
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3x = 12
x = 12x = 4 V = 4
X = -9V= -9
6º) Exemplo:
31 2 2

Primeiro elimine os parênteses, aplicando a propriedade distributiva da multiplicação: (multiplica o nº de fora com os termos que estão dentro do parênteses). 3x + 6 + 3 = 2x 3x – 2x = – 6 – 3 x = -9 4x + 2 = 5x - 3
Reduza as frações ao mesmo denominador calculando o m.m.c. de 3,2 , divida pelo debaixo e multiplique pelo de cima.

+ 12= 15x - 9
66 6 6
- 7x = - 21( -1)

8x + 12 = 15x - 9 (separando X com X) 8x - 15x = - 9 - 12 7x = 21 x = 21

X = 3

Lembre-se: o denominador do 2 é 1

Cancele os

denominadores (nº 6) e copie os numeradores e resolva a equação.

V =3
3 , 22
3 , 13 (multiplica)

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Copie e resolva em seu caderno:

a) x + 3 = 4

7) Resolva em seu caderno as equações abaixo:

32 2

f) X + 1 = 3 i) X + 2X = 3x - 4

53 3

Para resolver um problema, você deve: 1º) Ler atentamente o problema;
2º) Identificar os dados desconhecidos do problema que será representado por uma letra;
3º) Identificar o dado conhecido do problema; 4º) Formar a equação, envolvendo os dados conhecidos e desconhecidos; usando os símbolos da matemática;
5º) Resolver a equação (achar o valor da letra); 6º) Escrever a resposta do problema.
X = 8 X = 2 4
Lembre-se: X = 1 X
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Agora, leia atentamente os problemas resolvidos abaixo para que você aprenda;
Exemplo 1:

Dado desconhecidoé “minha idade” representada pelo X

A soma da minha idade com 6 é igual a 28. Qual é a minha idade? Equação correspondente: X + 6 = 28
Resolução da equação: X + 6 = 28 X = 28 – 6 X = 2 Resposta do problema: A minha idade é 2 anos.
Exemplo 2:
O dobro de um número somado com 13 é igual a 23. Qual é esse número?
Dado desconhecido é “o número”, representado pelo X, então a equação correspondente ao problema é: 2X + 13 = 23

2 . X = 10
X =

Resolução da equação: 2 . X + 13 = 23 2 . X = 23 – 13 2
Copie e resolva em seu caderno:
8) Copie no seu caderno os problemas abaixo, passando para a linguagem da matemática e resolva a equação : a) Qual é o número que, somado com 7, é igual a 15? b) De um número subtraímos 9 e encontramos 4. Determine o nº. c) O dobro de um número somado com 20 é igual a 50. Calcule esse número e ache o seu triplo. d) O triplo de um número menos dez é igual ao dobro desse número menos quatro. Qual é esse número? w.ceesvo.com.br 18
SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAU COM DUAS VARIÁVEIS
Você já sabe encontrar o valor de uma variável na equação mas, se a equação fosse formada por duas variáveis ( letras), como você resolveria?

Ex: X + Y = 15Você percebeu que não existe

apenas uma solução?

Veja: Se X = 77 + 8 = 15
Se X = 22 + 13 = 15
Se X = - 3-3 + 18 = 15

Para determinar um único valor é necessário que se tenha duas equações, que juntas, formam um sistema de equações com duas variáveis.
Geralmente usamos sistemas para resolver problemas com duas incógnitas, e seguimos as seguintes etapas: 1º ) Ler o problema com muita atenção e montar o sistema com duas variáveis , geralmente X e Y. 2º ) Resolver o sistema e depois interpretar os resultados obtendo a resposta para a pergunta feita.
Observe atentamente o exemplo: Ex. 1:
A soma de dois números é 15 e a diferença entre eles é 3. Quais são esse números?
Representando os números procurados por X e Y, temos:

X – Y = 3( a diferença de dois números)

X + Y = 15 ( a soma de dois números)
Lembre-se: para determinar os valores das variáveis é necessário que o número de variáveis seja igual ao número de equações do sistema.
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• O sistema pode ser resolvido pelo método da adição algébrica em dois passos: 1º passo - cancelando uma das letras ( variáveis )

X – Y =3 (2ª equação)
2X = 18Da equação resultante, você determina o valor

X + Y = 15 (1ª equação) de uma incógnita (no nosso caso é X ). 2X = 18 X = 18 2
2º Passo: substituir o valor da letra encontrando na 1ª ou 2ª equação.
2º Exemplo: Determine os valores de X e Y do sistema:
X + Y = 8 2X – Y = 7
Logo, os números procurados são 9 e 6 e o conjunto verdade é representado por : V = {(9 , 6)}
Adicionam-se as duas equações.
Lembre-se !! Para cancelar uma letra é necessário que elas tenham o mesmo número ( coeficiente ) com sinais diferentes.
0Y não existe
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Substituindo X= 5 na primeira equação, você obtém o valor de Y. X + Y = 8 5 + Y = 8 Y = 8 – 5 Y = 3
O conjunto verdade é representado assim: V = ( 5 , 3)
3º) Resolva em seu caderno o seguinte sistema de equações:
Você acertou se tiver feito assim:
Substituindo o valor 3 do Y temos:
Como 2Y é 2 • Y e você sabe que Y = 3 observe a substituição no exercício.
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Copie e resolva em seu caderno:
9) A diferença de dois números é 4 e a soma desses números é 26. Quais são esses números?
10) A soma de dois números inteiros é 34 e a diferença é 4.Quais são esses números?

1)X + 3Y = 17
-X – 2Y = - 12

Você acha possível que um mesmo problema possa ser resolvido tanto algebricamente como geometricamente? Você aprendeu a solução algébrica do sistema de equações do 1º grau fazendo os cálculos com números e as variáveis. Como será a solução geométrica do mesmo sistema? Usando o plano cartesiano, ou seja, o gráfico.
Observe: Você aprendeu o que é e para que serve o plano cartesiano no módulo 6 , vamos relembrar:
Usando duas retas numeradas ( ou eixos ), que se cruzam num ponto ( a origem ) e considerando :
1º Os eixos perpendiculares entre si ( formando ângulos de 90º ); 2º A mesma unidade de medida nos eixos.

-6 –5 –4 –3 –2 -1 0 1 23 4 5 6

eixo X eixo Y w.ceesvo.com.br 2
O eixo horizontal é chamado eixo X. O eixo vertical é chamado eixo Y.
Para localizar um ponto P ( na figura ), traçam-se por esse ponto paralelas aos eixos X e Y, respectivamente.
Portanto, ao ponto P da figura corresponde um par ordenado de números reais ( 3,2), dessa maneira fica determinado o ponto, como intersecção das retas paralelas aos eixos X e Y.
P ( 3,2) : O primeiro número do par ordenado é chamado abscissa (eixo X) e o segundo nº é a ordenada (eixo Y). Ambos são denominados coordenadas cartesianas. Voltando ao exemplo da página 2 :

X – Y = 3para encontrar a solução geométrica faremos assim:
X + Y = 15 ( 1ª equação)X – Y = 3 ( 2ª equação )
X YX Y
7 8 P (7,8)3 0 P (3,0)
8 7 P (8,7)4 1 P (4,1)

Damos valores para X e Y de modo a tornarem verdadeiras as equações. Existem várias opções. Precisamos no mínimo de 2 valores para cada equação. Observe:
Você marca os pontos encontrados da 1ª tabela no plano cartesiano e traça a respectiva reta. Em seguida marca os pontos da 2ª tabela e traça a segunda reta. O ponto ( X , Y ) onde elas se cruzam é a resposta do sistema.
Observe o gráfico na página seguinte:
Pense em dois nºs que somando dá 15 para fazer a 1ª tabela
Pense em dois nºs que subtraindo dá 3para fazer a 2ª tabela.
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Pontos da 1ª tabela

X + Y = 15X – Y = 3
9 + 6 = 159 – 6 = 3

O resultado será o ponto de intersecção da reta (onde se cruzam). Os valores X = 9 e Y = 6 são os únicos que tornam as duas equações verdadeiras:
Copie e resolva em seu caderno:

X + Y = 6
X – Y = 2

12) Resolva em seu caderno observando a explicação anterior:
Agora é só marcar os pontos no plano cartesiano (gráfico) e ver o encontro das duas retas. Essa é a solução do sistema.

X + Y = 6X – Y = 2
XY X Y

Como queremos a solução geométrica precisamos dos valores de X e Y nas duas equações. Complete as tabelas.
Pontos da 2ª tabela eixo Y

1 23 4 5 6 7 8 9

eixo X
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3) P = x + x + x+3+x+3ou P = 4x+6
4-)a) X + 8 = 12
e) 2 X = 24
f ) 3 X = 3

g) X = 7

5-)a) 2X + 18 = 23
4
6-) a) X + (X + 1) = 29
7-) a) X = 1

b) X = 5 e) X = 2

2
c) X = -2f) X = 3
d) X = - 17

2 g) X = 30

8-)a) X = 8
9-)(15,1 )

Logo, a solução é X = 4 e Y = 2 P ( 4 , 2 )

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