Follow by Email

quinta-feira, 7 de julho de 2011

Sistema de Equação Linear

Sistema de equação linear com duas incógnitasE 'oia' eu aqui 'tra veiz' continuando nossa série de artigos sobre VB e a matemática , vou mostrar agora como resolver uma equação linear com duas incógnitas. Vou começar com os conceitos matemáticos envolvidos e a seguir mostrar o código VB que resolve o problema. Eta VB bom de matemática soh !!!
Os conceitos Matemáticos
1 - Sistema linear
É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo:a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3.................................................................
.................................................................
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn

Exemplo:
3x + 2y - 5z = -8
4x - 3y + 2z = 4
7x + 2y - 3z = 2
0x + 0y + z = 3

Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).
Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientes e b1, b2, ... , bn são os
termos independentes
. A ênupla (a 1, a 2 , a 3 , ... , a n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas as m equações.

Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:
x + y + 2z = 7
3x + 2y - z = 11
x + 2z = 4
3x - y - z = 2
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.

Notas:1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.Exemplo: Os sistemas lineares
S1:2x + 3y = 12
3x - 2y = 5
<><><><>
S2: 5x - 2y = 11
6x + y = 20
são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!
2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou COMPATÍVEL.
3 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.
4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é INDETERMINADO.
5 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja
b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.

Exemplo:
x + y + 2z = 0
2x - 3y + 5z = 0
5x - 2y + z = 0

Vejamos agora os métodos para a resolução de sistema de equações:
Método da adição:

 
» basta eliminar uma das variáveis, através de termos opostos, recaindo numa equação do 1º grau com uma variável.

Ex: x+y=12
     x-y=4

Notamos que as duas equações possuem termos opostos (y e -y). Com isso, basta somar as duas equações:
A seguir, basta substituir o valor encontrado para x em uma das equações.
        8+y=12                ou             8-y=4
           y=12-8                               -y=4-8
           y=4                                      y=4
O par ordenado (x,y)=(8,4) é a solução do sistema.

Método da substituição:
Consiste em eliminarmos uma das variáveis isolando seu valor numa das equações do sistema, para em seguida substitui-la na outra.
Ex: x+y=12 ... I
      x-y=4 .... II

Escolhemos uma das variáveis na primeira equação, para determinarmos o seu valor:    x+y=12  »  x=12-y
Substituímos na outra equação:

    (12-y) - y = 4
          12-2y = 4 
             -2y = -8
                y=4
Substituindo o valor encontrado em uma das equações:    x+4=12   »  x=12-4  »  x=8

Logo a solução do sistema seria:      S = {(8,4)}
Método da comparação:
Consiste em comparmos as duas equações do sistema, após termos isolado a mesma variável (x ou y) nas duas equações:
      x+2y=2     »   x=2-2y
      x+y = 3     »   x=3-y

Comparando as duas equações:
                2-2y=3-y
               -2y+y=3-2
                   -y = 1
                    y = -1

Substituindo o valor de y encontrado:   x = 2-2.(-1)  »  x=2+2=4
Portando S= {(4,-1)}
Método de Kramer
No nosso exemplo , dada a equação :
 
Foi utilizado o método de Kramer e nele as soluções serão dadas por:  

   x = (c * e - b * f ) / (a * e - b * d)
   y = (a * f - e * d) / (a * e - b * d)


A interface com o usuário
Inicie um novo projeto no VB e no formulário padrão insira os controles conforme layout abaixo:

- temos aqui : - 6 caixas de texto
- dois botões de comando
- três frames

Como você acabou de observar a interface é simples: O usuário deverá informar o valor dos coeficientes da equação nas caixas de texto e clicar no botão - Resolver - para obter o resultado da equação.
O código
Vamos começar com o código do botão - Resolver : Aplica a regra de Kramer para resolver o sistema.

Private Sub CmdResolver_Click()

On Error GoTo Err_CmdResolver_Click

Dim i%

For i = 0 To 1
AjustaValor txta(i)
AjustaValor txtb(i)
AjustaValor txtc(i)
Next

Dim valx#
Dim valy#
Dim tmp%
Dim mul0#
Dim mul1#

mul0 = Val(txtb(1))
mul1 = Val(txtb(0))
mul0 = IIf(mul0 < 0 Eqv mul1 < 0, -mul0, mul0)

valx =(Val(txtc(0)) * mul0 + Val(txtc(1)) * mul1) / (Val(txta(0)) * mul0 + Val(txta(1))*mul1)
valy =(Val(txtc(0)) - Val(txta(0)) * valx) / Val(txtb(0))

lblx = "x = " & valx
lbly = "y = " & valy
lblfraz = "A solução para o sistema é => (" & valx & " ; " & valy & ")"

Exit Sub

Err_CmdResolver_Click:
 lblx = ""
 lbly = ""
 lblfraz = "Erro n° " & Err & " - " & Err.Description
 Select Case Err
   Case 6
     lblfraz = lblfraz & " : ocorreu um estouro da pilha do sistema."
   Case 11
    lblfraz = lblfraz & " : não há solução para o sistema."
 End Select
End Sub

Abaixo o código associado a evento KeyPress de cada caixa de texto , onde só permitimos a entrada valores numéricos:

Private Sub txta_KeyPress(Index As Integer, KeyAscii As Integer)
 If KeyAscii = 8 Then
   txta(Index).Text = Left(txta(Index).Text, Len(txta(Index).Text) - 1)
   SendKeys "{END}"
 End If
   'so permite valores numericos
 If KeyAscii < 45 Or KeyAscii > 57 Then KeyAscii = 0
End Sub

Private Sub txtb_KeyPress(Index As Integer, KeyAscii As Integer)
 If KeyAscii = 8 Then
   txtb(Index).Text = Left(txtb(Index).Text, Len(txtb(Index)) - 1)
   SendKeys "{END}"
 End If
   'so permite valores numericos
 If KeyAscii < 45 Or KeyAscii > 57 Then KeyAscii = 0
End Sub

Private Sub txtc_KeyPress(Index As Integer, KeyAscii As Integer)
 If KeyAscii = 8 Then
    txtc(Index).Text = Left(txtc(Index).Text, Len(txtc(Index)) - 1)
    SendKeys "{END}"
  End If
  'so permite valores numericos
  If KeyAscii < 45 Or KeyAscii > 57 Then KeyAscii = 0
End Sub

O código associado ao botão - Novo Cálculo - que limpa todos os controles do formulário:

Private Sub limpa_controles()
 Dim i As Integer
 'limpa as caixas de texto
 For i = 0 To Me.Controls.Count - 1
   If TypeOf Me.Controls(i) Is TextBox Then
     Me.Controls(i).Text = ""
   End If
 Next
 lblfraz = ""
 lblx = ""
 lbly = ""
End Sub

Para encerra o código que simula a pressionamento da tecla TAB quando o usuário tecla ENTER. Para que o código funcione você deve definir a propriedade KeyPreview do formulário como True:

Private Sub Form_KeyPress(KeyAscii As Integer)
  'Esse código permite a mudança de quadro de texto através do Enter
  If KeyAscii = 13 Then
  'Se o tipo do controle ativo for TextBox
  If TypeOf Screen.ActiveControl Is TextBox Then
    'Simula o pressionamento da tecla TAB
    SendKeys "{tab}"
    'A linha a seguir evita ouvir um bip
    KeyAscii = 0
  End If
End If
End Sub

Agora vou mostrar um exemplo , exibindo a tela obtida na resolução de um sistema:


Nota: O operador Eqv foi usado na linha de código : mul0 = IIf(mul0 < 0 Eqv mul1 < 0, -mul0, mul0) Ele é usado para efetuar uma equivalência lógica entre duas expressões. Sua sintaxe é :
resultado = expressão1 Eqv expressão2
If expressão1 éAnd expressão2 éO resultado é
TrueTrueTrue
TrueFalseFalse
FalseTrueFalse
FalseFalseTrue

A interface com o usuário

Nenhum comentário:

Postar um comentário